Module 2.2 | env6008

Module 2.2 Modélisation systémique à compartiments

Résumé du module

Dans ce module, nous présentons l’approche de modélisation systémique à compartiments. Ce module comprend cinq activités : deux activités de lecture, deux exercices corrigés et une activité d’exploration d’un modèle systémique avec le logiciel NetLogo.

L’activité 1 est consacrée à la lecture des quatre premières sections du chapitre 1 du livre Dynamic modeling of environmental systems de Deaton et Winebrake (1999a), qui décrivent les grandes lignes de l’approche systémique à compartiments. Vous verrez quelles sont les hypothèses à la base de cette approche et comment construire un modèle systémique à compartiments. Vous apprendrez aussi les concepts de boucle de rétroaction et d’état stationnaire.

L’activité 2 est un exercice corrigé qui vise à mettre en application les concepts de l’approche de modélisation systémique à compartiments. Au cours de cette activité, vous serez amené à concevoir le modèle systémique du cycle du phosphore.

L’activité 3 consiste à lire les six premières sections du chapitre 2 du livre Dynamic modeling of environmental systems de Deaton et Winebrake (1999b). Vous apprendrez ainsi quelles sont les grandes classes de dynamique des systèmes qui peuvent être reproduites avec les modèles systémiques à compartiments.

L’activité 4 est un second exercice corrigé. Cette activité a pour objectif de vérifier si vous avez bien assimilé les concepts relatifs aux différentes classes de dynamique étudiées précédemment. Au cours de cette activité, vous étudierez la dynamique d’un modèle systémique représentant la propagation d’un virus au sein d’une population.

L’activité 5 consiste à explorer la dynamique du modèle Lotka-Volterra par la simulation du modèle systémique NetLogo « Wolf sheep predation ». Vous devez d’abord télécharger la plateforme de modélisation NetLogo et vous familiarisez avec son interface. Un guide vous expliquant la démarche à suivre est disponible dans l’onglet Ressources du cours.

À la fin du module, vous réalisez le travail noté 1 qui porte sur la modélisation systémique à compartiments (10 % de la note finale).

Introduction

La modélisation systémique en environnement est une application de l’approche systémique. Vous avez appris au module 2.1 que l’approche systémique tire son origine de la théorie des systèmes développée entre autres par Ludwig von Bertalanffy. Elle consiste en une analyse holistique d’un système qui met l’accent sur les interactions entre les composantes principales du système. Jay Forrester est un des premiers chercheurs à avoir appliqué l’approche systémique par l’élaboration de modèles complexes en environnement et dans d’autres disciplines connexes.

L’approche systémique est une analyse selon laquelle on divise un système en composantes distinctes pouvant être reliées par des flux ou des échanges de matière, d’énergie ou d’information. Par exemple, la figure 2.1.3 illustre le réseau trophique d’un écosystème terrestre et aquatique. Cette figure représente un modèle conceptuel selon l’approche systémique. Les composantes du système, tels les herbivores, les omnivores ou les grands prédateurs, sont liées entre elles par des échanges de biomasses. Les échanges d’oxygène (O₂) et de dioxide de carbone (CO₂) que ces composantes entretiennent avec le milieu extérieur sont aussi représentés.

Les cycles biogéochimiques, comme celui du carbone, du phosphore ou de l’azote, sont généralement décrits par une approche systémique. Par exemple, la figure 2.2.1 illustre le cycle de l’azote dans le sol. Le système est divisé en différentes composantes représentées par des compartiments (l’azote atmosphérique, les plantes, les décomposeurs, etc.) qui sont connectés entre eux par des échanges d’azote.

Figure 2.2.1 Le cycle de l’azote dans le sol (Nojhan, 2006).

Passons maintenant à la première activité de lecture. Cette lecture est une introduction à la modélisation systémique à compartiments. Vous apprendrez comment analyser un système en vue de concevoir un modèle systémique pouvant reproduire sa dynamique. Vous étudierez les principales hypothèses qui caractérisent ce paradigme de modélisation. Finalement, vous vous familiariserez avec les concepts de boucle de rétroaction et d’état stationnaire. Ce sont deux concepts importants dans la compréhension de la dynamique d’un système.

Activité 1 : Lire les sections 1.1 à 1.4 inclusivement du chapitre 1 « Overview of environmental systems » du livre Dynamic modeling of environmental systems de Deaton et Winebrake (1999a). À la section 1.4, la lecture du texte ombragé est facultative, car elle nécessite une compréhension du calcul différentiel et intégral.

Terminologie et concepts

Compartiments, processus, taux et relations

Vous avez appris à la section 1.2 du chapitre 1 du livre de Deaton et Winebrake (1999a) qu’un modèle systémique à compartiments est composé de quatre types d’éléments : les compartiments, les processus, les taux et les relations.

Les auteurs utilisent des symboles spécifiques pour illustrer ces éléments (figure 2.2.2), que nous adoptons aussi dans ce cours. Notez que le taux est représenté par un losange plutôt qu’un cercle pour éviter toute ambiguïté avec le symbole utilisé pour illustrer un processus.

Figure 2.2.2 Notation utilisée par Deaton et Winebrake pour schématiser un modèle systémique à compartiments.

Pour définir et comprendre ces éléments, Deaton et Winebrake utilise l’exemple d’une communauté habitant une île isolée. La figure 2.2.3 reproduit la figure 1.4 de Deaton et Winebrake illustrant ce modèle systémique.

Figure 2.2.3 Diagramme conceptuel du modèle systémique d’une communauté sur une île isolée. Figure adaptée de la figure 1.4 de Deaton et Winebrake (1999a).

Les compartiments, aussi appelés réservoirs ou stocks, représentent les composantes principales du système. Dans l’exemple illustré à la figure 2.2.3, les deux compartiments correspondent à la population et aux ressources de l’île. Les compartiments constituent les variables du modèle et la valeur de leur contenu varie avec le temps. Généralement, le modélisateur cherche à savoir comment le contenu des compartiments évolue dans le temps.

Les processus sont les mécanismes qui contrôlent les flux qui entrent (les entrées) et qui sortent des compartiments (les sorties). Les processus sont donc responsables des changements dans la valeur des compartiments. Dans l’exemple illustré à la figure 2.2.3, le compartiment associé à la population est sujet aux processus de naissance et de mortalité. Les naissances augmentent la taille de la population tandis que les décès la diminuent. De même, le compartiment associé aux ressources de l’île dépend des processus de renouvellement et d’exploitation des ressources.

Les taux (converters) sont des paramètres ou des variables du modèle qui dirigent, comme leur nom l’indique, le taux avec lequel les processus opèrent et donc le taux avec lequel la valeur des compartiments change (Deaton et Winebrake, 1999a). Dans l’exemple ci-dessus, le taux de naissance contrôle le nombre de naissances, par unité de population, qui « entre » dans le compartiment associé à la population.

Les relations sont les connexions entre les différentes composantes du système. Elles s’expriment par des relations mathématiques. Par exemple, à la figure 2.2.3, le processus de naissance est lié à la fois au taux de naissance et à la taille de la population. En effet, on peut imaginer qu’une population plus grande produise un plus grand nombre de naissances. Si on suppose que le nombre de naissances est directement proportionnel à la taille de la population, cette relation s’exprime mathématiquement par :

(1)

$\text{Flux de naissance} = n*\text{Taille de la population}$ ,

où $n$ est le taux de naissance.

Par ailleurs, le taux de naissance est lié à la quantité de ressources (figure 2.2.3). En effet, on peut également imaginer que le taux de naissance est moindre lorsque les ressources sont rares que lorsqu’elles sont abondantes. Comme l’expliquent Deaton et Winebrake, cela est peut-être dû à une décision rationnelle de réduire les naissances en période de pénurie des ressources ou encore parce que le manque de ressources affecte la santé de la population et sa fertilité. Nos connaissances sur ce système ne nous permettent pas de savoir exactement comment le taux de naissance varie en fonction de la quantité de ressources. On peut supposer que la relation entre ces deux composantes du système soit donnée par une fonction inconnue $F$ qui dépend de la quantité de ressources :

(2)

$n=F\left( \text{Quantit}\acute{\mathrm{e}}\text{ de ressources} \right)$ .

Les deux relations exprimées par les équations (1) et (2) peuvent être combinées pour obtenir :

(3)

$\text{Flux de naissance} = F\left( \text{Quantit}\acute{\mathrm{e}}\text{ de ressources} \right)*\text{Taille de la population}$ .

Les autres relations du modèle illustré à la figure 2.2.3 sont décrites à la page 9 du chapitre 1 de Deaton et Winebrake (1999a).

La règle des flux

La figure 2.2.3 est un modèle conceptuel du modèle systémique de la communauté habitant une île isolée. La représentation du modèle conceptuel est une étape essentielle pour faciliter la rédaction des équations mathématiques qui décrivent ce modèle systémique.

Un modèle systémique est décrit par une équation mathématique pour chacun des compartiments du modèle. Ces équations sont formulées selon ce qu’on appelle la règle des flux. Cette règle provient du principe de conservation de la masse. Elle stipule que la variation du contenu d’un compartiment est déterminée par la différence entre le flux qui entre dans un compartiment et celui qui en sort. Cette règle s’exprime par l’équation suivante :

(4)

$\Delta\text{Compartiment} = \text{Flux entrants} - \text{Flux sortants}$

Le symbole $\Delta t$ indique la variation observée pendant un intervalle de temps.

Cette équation peut se récrire ainsi :

(5)

$\begin{array}{ccl} \dfrac{\left( \text{Compartiment } \grave{\mathrm{a}} \; t + \Delta t \right) - \left( \text{Compartiment } \grave{\mathrm{a}} \;t\right)}{\Delta t} & = & \text{Flux entrants} - \text{Flux sortants} \\ \text{Compartiment } \grave{\mathrm{a}} \; t + \Delta t & = & \text{Compartiment } \grave{\mathrm{a}} \; t + \\ & & \left(\text{Flux entrants} -\text{Flux sortants} \right) * \Delta t\end{array}$

L’équation 5 est appelée une équation de différence.

En utilisant la règle des flux et le modèle conceptuel de la figure 2.2.3, nous pouvons écrire les équations de différence pour le modèle systémique de la communauté habitant une île isolée.

Il y a deux équations, une pour le compartiment associé à la population et une autre pour le compartiment associé aux ressources :

(6)

$\begin{array}{ccccl} \text{Population}(t + \Delta t) &= & \text{Population}(t) &+ & (\text{Flux de naissance} - \text{Flux de mortalit}\acute{\mathrm{e}}) * \Delta t\\ \text{Ressources}(t + \Delta t) &= & \text{Ressources}(t) &+ & (\text{Flux de renouvellement} - \text{Flux d}^\prime \text{exploitation}) * \Delta t \end{array}$

La connaissance des fonctions mathématiques qui représentent le flux de naissance, le flux de mortalité, le flux de renouvellement et le flux d’exploitation est nécessaire pour obtenir l’expression complète des équations (6) (voir par exemple l’équation (3) pour le flux de naissance).

Le processus itératif

Les équations de différence permettent de déterminer le contenu futur des compartiments par un processus itératif. Pour appliquer un processus itératif, il faut connaître les conditions initiales du système modélisé, c’est-à-dire la valeur des variables (les compartiments) au temps $t = 0$ . De plus, l’intervalle de temps $\Delta t$ sur lequel les flux sont mesurés doit aussi être connu.

Reprenons l’exemple de la communauté habitant une île isolée. Dans ce cas, les conditions initiales sont la taille initiale de la population et la quantité initiale de ressources. Supposons que l’intervalle de temps, dans cet exemple, corresponde à une année, $\Delta t = 1$ . La population à un temps $t$ futur est alors donnée par le processus itératif suivant :

(7)

$\begin{array}{ccccl} \text{Population}(1) & = & \text{Population}(0) & + & (\text{Flux de naissance} - \text{Flux de mortalit}\acute{\mathrm{e}}) \\ \text{Population}(2) & = & \text{Population}(1) & + & (\text{Flux de naissance} - \text{Flux de mortalit}\acute{\mathrm{e}}) \\ \text{Population}(3) & = & \text{Population}(2) & + & (\text{Flux de naissance} - \text{Flux de mortalit}\acute{\mathrm{e}}) \\ & \dots & & & \\\text{Population}(t) & = & \text{Population}(t-1) & + & (\text{Flux de naissance} - \text{Flux de mortalit}\acute{\mathrm{e}}) \end{array}$

Par le calcul successif de la $\text{Population}(t)$ à chaque itération $t$ , nous avons exécuté une simulation du modèle. Un calcul équivalent s’applique au compartiment associé aux ressources.

Caractéristiques de l’analyse systémique

La mise en œuvre d’une approche systémique repose sur deux hypothèses quant au système à analyser :

Il est possible de diviser le système en compartiments distincts.
Il est possible de déterminer adéquatement (par des mesures ou des estimations) les interactions entre les compartiments.

En effet, l’approche systémique consiste à diviser un système en composantes plus simples pour en faciliter l’analyse. Si notre compréhension du système est insuffisante pour en dégager les composantes sous-jacentes et leurs interactions, l’approche systémique ne peut pas être utilisée.

La section 1.4.1 du chapitre 1 de Deaton et Winebrake (1999a) décrit les caractéristiques fondamentales de l’analyse systémique à compartiments. Nous résumons ici les six caractéristiques présentées.

Une analyse systémique débute par une description générale du système d’étude et se poursuit par une description plus détaillée. Cette caractéristique indique l’importance de posséder une bonne vision d’ensemble du système à analyser. Les informations plus détaillées ne doivent pas obscurcir cette vue d’ensemble et sont incorporées à l’analyse au fur et à mesure qu’elle se précise.
Une analyse systémique met l’accent sur les processus dynamiques. Les processus dynamiques sont ceux qui modifient l’état des compartiments dans le temps. Il est important de savoir quels sont les facteurs qui affectent ces processus et comment ces facteurs sont eux aussi amenés à changer dans le temps.
Une analyse systémique cherche une explication « en circuit fermé » pour décrire le fonctionnement d’un système. Cette caractéristique signifie que le système d’étude est défini comme un système fermé (voir le module 1.2) : les éléments ou les processus qui sont à l’extérieur des limites du système n’ont pas d’influence sur la dynamique du système. Par souci de parcimonie, l’approche systémique ignore les éléments et les processus dont l’influence est négligeable. Une analyse systémique dégage les éléments et les processus essentiels à la compréhension du fonctionnement du système. Ces éléments et ces processus sont alors considérés comme faisant partie du système.
Une analyse systémique cherche à détecter les boucles de rétroaction dans un système. En effet, dans une analyse systémique, la relation entre la cause et l’effet d’un processus n’est pas nécessairement unidirectionnelle. Par exemple, si le taux A produit un changement dans le compartiment B, il est possible que ce changement vienne à son tour modifier le taux A. Il est important de reconnaître les boucles de rétroaction dans un système puisqu’elles ont un effet d’amplification ou d’atténuation sur sa dynamique. Nous reviendrons sur ce sujet à la section suivante.
Une analyse systémique explore les processus qui mènent à la stabilité ou à l’instabilité du système. Dans un système, certains processus ont parfois un effet opposé sur un compartiment. Ceci est le cas, par exemple, des processus de naissance et de mortalité au sein d’une population. Deux processus en « compétition » peuvent conduire le système vers un état stable. Cependant, certains processus peuvent aussi évoluer sans subir le contrôle de processus opposés. Ces processus peuvent mener le système vers un état instable. Par exemple, un processus de naissance dont le taux est indépendant du niveau des ressources peut mener à une explosion de la taille de la population. Nous reviendrons sur le sujet de la stabilité et de l’instabilité à la section sur l’état stationnaire.
Une analyse systémique met l’accent sur les relations causales. Un modèle basé sur une approche systémique doit s’appuyer sur de véritables relations de cause à effet entre les éléments du système d’étude. Des connaissances insuffisantes des relations produiront un modèle erroné.

Les boucles de rétroaction

Une boucle de rétroaction (feedback) se produit lorsque le flux sortant d’un compartiment influence le flux qui y entre. Il se produit ainsi un phénomène de « retour » entre la cause et l’effet d’un processus sur un compartiment. La figure 2.2.4 illustre ce phénomène.

Figure 2.2.4 Une boucle de rétroaction.

Une boucle de rétroaction est dite positive lorsque le flux sortant a pour effet d’amplifier le flux intrant. Une rétroaction positive augmente alors le contenu du compartiment qui sans autre contrôle peut croître indéfiniment. Une boucle de rétroaction est dite négative lorsque le flux sortant a pour effet de réduire le flux intrant. Une rétroaction négative régule ainsi le contenu du compartiment.

Reprenons l’exemple de la communauté habitant une île isolée. Ce système comprend une boucle de rétroaction négative. Cette boucle est illustrée en bleu à la figure 2.2.5. La quantité de ressources disponible affecte le taux de naissance. En effet, lorsque la population est grande, son exploitation des ressources est importante et ceci diminue les ressources disponibles. Or, lorsque les ressources deviennent peu abondantes, le taux de naissance diminue. Une diminution du taux de naissance produit un ralentissement de la croissance de la population. Une population moindre entraîne une réduction de l’exploitation des ressources. Cette réduction freine ou même cesse la diminution des ressources. Ainsi, cette rétroaction négative a un effet régulateur sur la dynamique population-ressources. Elle permet à la dynamique de se stabiliser, c’est-à-dire d’éviter une croissance sans frein de la population et l’épuisement des ressources.

Figure 2.2.5 Boucle de rétroaction négative dans le système de la communauté habitant une île isolée. Figure adaptée de la figure 1.8 de Deaton et Winebrake (1999a).

L’état stationnaire

On dit qu’un système est dans un état stationnaire lorsque le contenu de ses compartiments demeure constant dans le temps. Cette condition se traduit par l’équation suivante :

(8)

$\text{Compartiment }\grave{\mathrm{a}} \; t = \text{Compartiment }\grave{\mathrm{a}} \; t + \Delta t$

Par exemple, le système de la communauté habitant une île isolée est dans un état stationnaire lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

(9)

$\begin{array}{ccc}\text{Population}(t) &= &\text{Population}(t - 1) \\\text{Ressources}(t) &= &\text{Ressources}(t - 1)\end{array}$

Le contenu d’un compartiment demeure inchangé si le flux intrant est identique au flux sortant. Ainsi, les conditions exprimées à l’équation (9) peuvent aussi s’écrire comme :

(10)

$\begin{array}{ccc} \text{Flux de naissance} &= &\text{Flux de mortalit}\acute{\mathrm{e}} \\ \text{Flux de renouvellement} &= &\text{Flux d}^\prime \text{exploitation} \end{array}$

L’analyse d’un modèle systémique porte généralement une attention particulière à l’état stationnaire. Cette analyse cherche à savoir :

Sous quelles conditions (valeurs de paramètres) un système est-il à l’état stationnaire?
Quelle est la valeur des compartiments à l’état stationnaire?

Dans un contexte environnemental, la notion de stationnarité est liée au concept de durabilité. Dans ce contexte, on cherche à savoir quelles sont les conditions de développement (par exemple, le taux d’exploitation des ressources) qui ne compromettent pas la disponibilité des ressources naturelles pour les générations futures.

La notion de stationnarité est aussi liée au concept d’équilibre dynamique d’un système. Un système est à l’équilibre lorsque la valeur de ses variables (le contenu des compartiments) demeure constante dans le temps. Un système est aussi à l’équilibre lorsque la valeur de ses variables fluctue, mais demeure régulé, de sorte qu’il n’y ait aucune augmentation ni diminution de ces fluctuations. Des exemples représentant ces deux formes d’équilibre sont illustrés à la figure 2.2.6 a et b respectivement. Sur la figure a, la variable V fluctue pendant une période transitoire avant d’atteindre un état d’équilibre. Sur la figure b, la variable V suit une dynamique oscillatoire.

Figure 2.2.6 Exemples de dynamiques d’une variable V à l’équilibre (a et b) et hors d’équilibre (c et d).

À l’opposé, un système n’est pas à l’équilibre lorsque le contenu d’un ou de plusieurs de ses compartiments change dans le temps. Une telle dynamique est dite instable. Deux exemples de dynamique « hors d’équilibre » sont illustrés à la figure 2.2.6 c et d. Sur la figure c, la variable V croît continuellement avec le temps. Sur la figure d, la variable V suit une dynamique oscillatoire dont l’amplitude augmente avec le temps.

Il est intéressant de constater qu’il existe des équilibres stables et des équilibres instables. Un système est dans un état d’équilibre stable lorsqu’après une légère modification de ses paramètres, le système s’éloigne de son état d’équilibre mais peut y revenir. La stabilité d’un état d’équilibre est souvent illustrée par analogie avec une balle soumise à la force de la gravité (figure 2.2.7). Une balle placée au creux d’un bassin est à l’état d’équilibre. Si la balle est déplacée vers la droite ou la gauche du bassin, elle retournera à sa position d’équilibre une fois relâchée (figure 2.2.7 a). D’autre part, une balle située au sommet d’une montagne (figure 2.2.7 b) ne peut regagner cette position d’équilibre si elle subit un débalancement. Un tel équilibre est dit instable. Si vous désirez en savoir davantage sur le concept d’équilibre et de stabilité des systèmes dynamiques, consultez les pages de scholarpedia equilibrium et stability.

Figure 2.2.7 Exemples d’un équilibre stable (a) et d’un équilibre instable (b).

Utilisation des modèles systémiques à compartiments

Le chapitre 1 du livre de Deaton et Winebrake (1999a), que vous venez de lire, résume les deux utilisations principales des modèles systémiques à compartiments :

Comprendre les mécanismes sous-jacents qui contrôlent le fonctionnement d’un système.
1. Décrire les processus et les taux sous-jacents.
2. Déterminer les mécanismes responsables de la dynamique à long terme du système.
3. Déterminer les mécanismes qui maintiennent le système à l’état d’équilibre, ou les mécanismes qui peuvent rompre cet équilibre.
Par exemple, dans le système de la communauté habitant une île isolée (figure 2.2.3), les processus qui contrôlent la dynamique du système sont les naissances et les mortalités au sein de la population, et les processus de renouvellement et d’exploitation des ressources. Supposons qu’un équilibre du système existe pour lequel la population et les ressources sont dans un état stationnaire. Le modèle systémique peut être utilisé pour explorer les questions suivantes :
- Est-ce qu’une augmentation du taux d’exploitation peut rompre un équilibre dans le niveau des ressources disponibles?
- Comment est-ce que l’équilibre serait modifié si une relation existait entre le niveau des ressources et le taux de mortalité des habitants (pour exprimer par exemple une plus grande mortalité lorsque les ressources sont limitées)?
Prédire l’état futur d’un système.
1. Prédire les cycles et le comportement à long terme du système.
2. Évaluer les conséquences de l’adoption de politiques.
3. Déterminer des scénarios qui peuvent compromettre l’état d’équilibre du système ou le restaurer.
Par exemple, le modèle systémique de la communauté habitant une île isolée peut être utilisé pour explorer les questions suivantes :
- Si les habitants de l’île adoptent une politique de contrôle des naissances (limitant, par exemple, les naissances à un enfant par union), quel serait les conséquences sur le niveau des ressources disponibles sur l’île?
- Si la population est sujette à une immigration en provenance d’une île voisine, est-ce qu’un équilibre des ressources peut être maintenu?

Exercice corrigé

Comme deuxième activité, nous vous proposons de faire un exercice corrigé. Il s’agit d’un exercice pratique qui vise à mieux vous faire comprendre les concepts de la modélisation systémique à compartiments étudiés jusqu’à présent. Au cours de cette activité, vous êtes amené à appliquer cette approche de modélisation pour étudier le cycle du phosphore.

Activité 2 : Modèle systémique du cycle du phosphore.

Les classes de dynamique

La dynamique d’un système est la façon dont l’état de ce système change au fil du temps. La modélisation systémique permet d’explorer comment chacun des compartiments qui composent un système donné évoluent dans le temps.

Plusieurs systèmes environnementaux exhibent des dynamiques similaires. Cinq classes différentes de dynamique sont fréquemment observées : la croissance ou la décroissance linéaire, la croissance ou la décroissance exponentielle, la croissance logistique, le dépassement et l’effondrement (overshoot and collapse) et la dynamique oscillatoire.

L’activité 3 consiste à lire le chapitre 2 du livre Dynamic modeling of environmental systems de Deaton et Winebrake (1999b). Ce chapitre explique les caractéristiques principales de chaque classe de dynamique. Il contient une section pour chacune des cinq classes. Chaque section est divisée en trois sous-sections : une première sous-section donne un ou deux exemples de la classe de dynamique étudiée, une deuxième sous-section procure les équations de différence et les solutions aux équations différentielles qui leur sont associées et, finalement, une troisième sous-section résume les caractéristiques principales.

Dans ce cours, il n’est pas nécessaire de comprendre comment les solutions aux équations différentielles sont déterminées. Ce qui importe est de comprendre comment les équations de différence sont formulées à partir des schémas des modèles systémiques et en suivant la règle des flux, comme vous l’avez fait à l’activité 2.

Activité 3 : Lire les sections 2.1 à 2.6 inclusivement du chapitre 2 « Basic modeling concepts in environmental systems models » du livre Dynamic modeling of environmental systems de Deaton et Winebrake (1999b). À noter que la lecture des zones ombragées est facultative, car elle nécessite une compréhension du calcul différentiel et intégral.

Nous résumons maintenant sous forme de tableaux les caractéristiques des cinq classes de dynamique.

1. Croissance ou décroissance linéaire

Description	Le contenu du compartiment R(t) augmente ou diminue à un taux constant r.
Équation de différence	$R( t + \Delta t ) = R(t) + r \cdot \Delta t$
Solution	$R(t) = R_0 + r t$ ─ $R_0$ est la valeur du compartiment au temps t = 0. si r est positif, R(t) croît linéairement. si r est négatif, R(t) décroît linéairement.
Représentation graphique	R(t) est une droite de pente r en fonction du temps.
État stationnaire	Aucun, à moins que r = 0.
Exemple d’applications	Exploitation d’une ressource à un taux constant.

2. Croissance ou décroissance exponentielle

Description	Le contenu du compartiment R(t) augmente ou diminue à un taux proportionnel à sa taille actuelle.
Équation de différence	$R( t + \Delta t ) = R(t) + r \cdot R(t) \cdot \Delta t$ r est le taux net de croissance ou de décroissance.
Solution	$R(t) = R_0 e^{r t}$ $R_0$ est la valeur du compartiment au temps t = 0. si r est positif, R(t) croît exponentiellement. si r est négatif, R(t) décroît exponentiellement.
Représentation graphique	Si r est positif, la croissance de R(t) est lente initialement puis elle s’accélère avec le temps. Si r est négatif, la décroissance de R(t) est rapide initialement puis elle ralentie avec le temps. R(t) tend vers une asymptote horizontale.
État stationnaire	Aucun si r est positif. Si r est négatif, l’état stationnaire R = 0 est atteint après une période de temps infiniment grande $( t \to \infty )$ .
Exemple d’applications	Croissance d’une population en absence de contraintes.

3. Croissance logistique

Description	Le contenu du compartiment R(t) augmente ou diminue à un taux qui dépend de sa taille actuelle et de la capacité de soutien du système. La valeur du contenu ne peut dépasser la capacité de soutien.
Équation de différence	$R( t + \Delta t ) = R(t) + r \cdot \left( 1 - \dfrac{R(t)}{K} \right) \cdot \Delta t$ K est la capacité de soutien du système. C’est la valeur maximale que peut atteindre R(t). r est le taux de croissance en l’absence de restrictions (si K était infiniment grand). r est positif.
Solution	$R(t) = \dfrac{K R_0 e^{r t}}{K + R_0 (e^{r t} - 1)}$ $R_0$ est la valeur du compartiment au temps t = 0.
Représentation graphique	Si $R_0 < K$ , R(t) augmente jusqu’à atteindre K. Si $R_0$ est beaucoup plus petit que K, la croissance initiale de R(t) est exponentielle. Si $R_0 > K$ , R(t) diminue jusqu’à atteindre K. Si $R_0$ est beaucoup plus grand que K, la décroissance de R(t) est exponentielle. Plus r est grand et plus la croissance ou la décroissance de R(t) est rapide.
État stationnaire	L’état stationnaire $R = K$ est atteint après une période de temps infiniment grande $( t \to \infty )$ .
Exemple d’applications	Croissance d’une population dans un environnement aux ressources limitées.

4. Dépassement et effondrement

Description	Dynamique produite par deux compartiments en interaction. La croissance du compartiment P(t) dépend du compartiment non renouvelable R(t).
Équations de différence	$\begin{array}{ccl}R(t + \Delta t) &= &R(t) - d \cdot P(t) \cdot \Delta t \\P(t + \Delta t) &= &P(t) + r \cdot P(t) \cdot \Delta t - \left( 1 - \dfrac{R(t)}{R_0} \right) \cdot P(t) \cdot \Delta t \end{array}$ d est le taux d’exploitation de R(t) par P(t). $R_0$ est la valeur du compartiment R(t) au temps t = 0. C’est la valeur maximale de R(t). r est le taux de croissance de P(t) en l’absence de restrictions (si R(t) demeurait constant à $R_0$ ). r et d sont positifs.
Solution	Non fournie
Représentation graphique	Initialement P(t) croît exponentiellement au détriment de R(t) qui diminue. P(t) atteint un maximum à la suite duquel il décline puisque R(t) est en quantité insuffisante pour soutenir sa croissance. P(t) s’effondre et R(t) aussi.
État stationnaire	L’état stationnaire R = P = 0 est atteint après une période de temps infiniment grande $( t \to \infty )$ ..
Exemple d’applications	Croissance d’une population dans un environnement aux ressources non renouvelables.

5. Dynamique oscillatoire

Description	Dynamique cyclique produite par deux compartiments en interaction. La croissance du compartiment P(t) dépend du compartiment renouvelable R(t).
Équation de différence	$\begin{array}{ccl} R(t + \Delta t) &= &R(t) + a \cdot \Delta t - d \cdot P(t) \cdot \Delta t \\ P(t + \Delta t) &= &P(t) + r \cdot R(t) \cdot \Delta t - m \cdot \Delta t \\ \end{array}$ a est le taux de croissance de R(t). d est le taux d’exploitation de R(t) par P(t). r est le taux net de croissance de P(t) par sa consommation de R(t). m est le taux de mortalité de P(t). a, d, r et m sont positifs.
Solution	Non fournie
Représentation graphique	R(t) et P(t) oscillent de façon sinusoïdale avec le temps. R(t) et P(t) n’oscillent pas en phase. La croissance de P(t) entraîne un déclin de R(t). Une quantité insuffisante de R(t) cause ensuite une diminution de P(t). Ce déclin de P(t) diminue l’exploitation de R(t) et lui permet de croître. En présence d’une quantité abondante de R(t), P(t) augmente à nouveau et le cycle recommence. L’amplitude et la période des oscillations dépendent de la valeur des paramètres a, d, r et m et des conditions initiales $R_0$ et $P_0$ .
État stationnaire	Le système est à l’état stationnaire lorsque ses conditions initiales sont au point d’équilibre : $\begin{array}{cc} R_0 &=m / r \\ P_0 &=a / d \end{array}$
Exemple d’applications	Croissance d’une population dans un environnement aux ressources renouvelable.

Exercice corrigé

Passons maintenant à un exercice corrigé. Cet exercice pratique vous permet de vérifier si vous avez bien assimilé les concepts relatifs aux classes de dynamique et de consolider l’apprentissage fait dans les lectures. Au cours de cette quatrième activité, vous étudiez le modèle systémique de la propagation d’un virus au sein d’une population.

Activité 4 : Modèle systémique de la propagation d’un virus.

Le modèle Lotka-Volterra

Dans le module 2.1, nous avons présenté brièvement le modèle Lotka-Volterra. Ce modèle simple reproduit la dynamique qui résulte de l’interaction entre deux populations. C’est un modèle classique en écologie des populations pour étudier notamment les interactions prédateur-proie ou hôte-parasite.

Vous allez maintenant réaliser l’activité 5. Vous devez simuler le modèle NetLogo « Wolf sheep predation » qui est une implémentation du modèle prédateur-proie de Lotka-Volterra. Vous analysez la dynamique du modèle en variant la valeur de ses paramètres. Pour certains paramètres, vous observez une dynamique oscillatoire semblable à celle étudiée précédemment.

Vous devez d’abord télécharger et installer sur votre ordinateur la plateforme de modélisation NetLogo. Un guide vous expliquant la démarche à suivre est disponible dans l’onglet Ressources du cours. Au cours des prochains modules, plusieurs activités seront réalisées avec le logiciel NetLogo. Prenez donc le temps de vous familiariser avec son interface.

Activité 5 : Explorer le modèle NetLogo « Wolf sheep predation »

Pour compléter le module 2.2, vous allez maintenant réaliser le travail noté 1. Ce travail noté vaut pour 15 % de la note finale.

Travail noté 1 : Modélisation systémique à compartiments.

Références

Deaton, M. L. et Winebrake, J. J. (1999a). Basic modeling concepts in environmental systems models. Dans Dynamic modeling of environmental systems (p. 28-40). New York : Springer.

Deaton, M. L. et Winebrake, J. J. (1999b). Overview of environmental systems. Dans Dynamic modeling of environmental systems (p. 1-17). New York : Springer.

Nojhan. (2006). Le cycle de l’azote dans le sol. Repéré à https://fr.wikipedia.org/wiki/Cycle_de_l’azote#mediaviewer/File:Cycle_azote_fr.svg, licence : https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

À propos du cours

Apprentissage

Module 2.2 Modélisation systémique à compartiments

Résumé du module

Introduction

Terminologie et concepts

Compartiments, processus, taux et relations

La règle des flux

Le processus itératif

Caractéristiques de l’analyse systémique

Les boucles de rétroaction

L’état stationnaire

Utilisation des modèles systémiques à compartiments

Exercice corrigé

Les classes de dynamique

1. Croissance ou décroissance linéaire

2. Croissance ou décroissance exponentielle

3. Croissance logistique

4. Dépassement et effondrement

5. Dynamique oscillatoire

Exercice corrigé

Le modèle Lotka-Volterra

Références