Module 2.2 Modélisation systémique à compartiments

Activité 4 Modèle systémique de la propagation d’un virus

Dans cet exercice corrigé, nous étudions la dynamique de la propagation d’un virus au sein d’une population à l’aide d’un modèle systémique.

Nous concevons un modèle simple en posant plusieurs hypothèses quant au système à modéliser :

• La taille de la population N demeure constante dans le temps. Cette hypothèse est valable lorsque le nombre de décès est égal au nombre de naissances dans une population.
• La population est composée de personnes infectées I et de personnes saines, mais susceptibles d’être infectées S.
• Les personnes infectées demeurent infectées. Il n’y a pas de processus de guérison.
• Les personnes saines deviennent infectées en entrant en contact avec les personnes infectées.
• Le taux net d’infection est une constante i.

Le modèle systémique de ce système comprend deux compartiments : un pour la population infectée et un autre pour la population saine. Ces deux compartiments sont liés entre eux par un flux de personnes infectées qui va du compartiment de la population saine vers celui de la population infectée. La figure 1 illustre le schéma de ce modèle systémique.

Figure 1 Schéma conceptuel du modèle systémique de la propagation d’un virus au sein d’une population.

Puisque la taille totale de la population est constante, la dynamique des compartiments S et I doit obéir à la condition :                  

Question 1

Dérivez l’équation de différence pour la population infectée I. Assurez-vous que l’équation soit indépendante de la variable S en utilisant la condition (1).

Question 2

À la lumière des cinq classes de dynamique étudiées dans le module :

• décrivez la dynamique de la population infectée I;
• faites un graphique approximatif de I en fonction du temps qui illustre la dynamique de I.

Solution

La solution aux questions se trouve ici.